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+# Revue de code — Implémentation CPG (Chaos Polynomial Généralisé)
+
+## Résumé
+
+Le code implémente correctement les grandes étapes d'une méthode de chaos polynomial non-intrusive :
+génération des polynômes de Legendre, construction de la grille de Gauss–Legendre par produit
+tensoriel, génération de la base de chaos multi-dimensionnelle, et transformation des variables
+incertaines. Plusieurs problèmes bloquants et améliorations sont identifiés ci-dessous.
+
+---
+
+## 1. Bugs bloquants
+
+### 1.1 `cpg_modes.m` — syntaxe incomplète
+
+```matlab
+% Code actuel (cassé)
+for i = 1:          % <- borne supérieure manquante → erreur de syntaxe
+end
+```
+
+La fonction est vide et génère une erreur de parsing. C'est l'objet principal des fichiers
+fournis (`cpg_modes_regression.m` et `cpg_modes_nisp.m`).
+
+---
+
+### 1.2 `cpg.m` — appel à `method_lambda` commenté, section modes vide
+
+```matlab
+%[lambda_cpg] = method_lambda(X_cpg);   % <- commenté, rien n'est calculé
+%% Stochastic modes
+                                          % <- section vide
+```
+
+La fonction ne fait rien d'utile au-delà de la construction de la grille.
+Le fichier `cpg.m` corrigé est fourni.
+
+---
+
+### 1.3 Répertoire `save/` non garanti
+
+`save(filename)` échoue si le dossier `save/` n'existe pas. Corriger avec :
+
+```matlab
+if ~exist('save', 'dir'), mkdir('save'); end
+save(filename)
+```
+
+---
+
+## 2. Problèmes de cohérence
+
+### 2.1 `method_XiToX.m` — signe inversé
+
+```matlab
+% Code actuel
+X(i,:) = (P(3,i) + P(2,i))/2 - xi(i,:)*(P(3,i)-P(2,i))/2;
+%                              ^--- signe moins
+```
+
+La convention standard est :
+
+```
+X = (Xmin + Xmax)/2 + ξ * (Xmax - Xmin)/2
+```
+
+avec ξ = +1 → X = Xmax et ξ = −1 → X = Xmin.
+
+Le code actuel **inverse** cette orientation : ξ = +1 → Xmin, ξ = −1 → Xmax.
+Pour une distribution uniforme symétrique, les statistiques (moyenne, variance) sont
+inchangées, mais les graphiques et les comparaisons point-à-point avec la Monte Carlo
+seront logiquement inversés. Corriger le signe.
+
+---
+
+### 2.2 `parameters.m` — `X_base` surdimensionné
+
+```matlab
+r = 2;
+X_base = [ 0.5  1e8  1e8  0.001 ];   % 4 éléments, mais r=2
+```
+
+Seuls les deux premiers éléments de `X_base` sont utilisés (la boucle s'arrête à `i=r=2`).
+Les valeurs `1e8` et `0.001` sont silencieusement ignorées.
+Aligner `X_base` sur `r`, ou vérifier que `length(X_base) >= r` avec une assertion.
+
+---
+
+### 2.3 `cpg_polyChaos.m` — initialisation 1D
+
+```matlab
+alpha = [0:p]';        % vecteur colonne [p+1 × 1] pour r=1
+```
+
+Pour `r=1`, la boucle `for d = 2:r` ne s'exécute pas, et `alpha` reste un vecteur colonne.
+L'indexation `alpha(n,:)` donne correctement un scalaire, donc le comportement est juste,
+mais le cas `r=1` n'est pas testé explicitement et la forme de `alpha` diffère de `r>=2`
+(colonne vs matrice). Ajouter un test unitaire pour `r=1`.
+
+---
+
+## 3. Points de vigilance
+
+### 3.1 Explosion combinatoire de la grille de Gauss
+
+La grille de collocation est un **produit tensoriel** : `Q = (p+1)^r` points.
+Le nombre de modes est `A = C(p+r, r)` (nettement inférieur).
+
+| r | p | Q = (p+1)^r | A = C(p+r,r) | Ratio Q/A |
+|---|---|-------------|---------------|-----------|
+| 2 | 4 | 25          | 15            | 1.7       |
+| 3 | 4 | 125         | 35            | 3.6       |
+| 4 | 4 | 625         | 70            | 8.9       |
+| 5 | 4 | 3125        | 126           | 24.8      |
+
+Pour `r >= 5`, le coût explose. Pour la régression, ce sur-échantillonnage est bénéfique
+(système sur-déterminé). Pour NISP, le produit tensoriel reste exact mais coûteux.
+Les grilles creuses (Smolyak) constituent l'alternative pour les grandes dimensions.
+
+### 3.2 Sorties multiples du modèle
+
+`model_main` retourne `[calc_rms; calc_std; calc_kurtosis]`, soit un vecteur `[3 × 1]`.
+`method_lambda` accumule correctement ces sorties : `lambda_out` est `[3 × Q]`.
+Les fonctions `cpg_modes_regression` et `cpg_modes_nisp` gèrent ce cas multi-sorties.
+
+### 3.3 Polynômes de Legendre — convention de normalisation
+
+`cpg_polyLegendre` calcule la norme sans le facteur 1/2 de la mesure uniforme :
+
+```
+PP(j) = 2 / (2*(j-1)+1)    % = ∫_{-1}^{1} L_{j-1}²(ξ) dξ
+```
+
+La variance du développement en chaos doit donc inclure le facteur `1/2^r` :
+
+```
+Var[λ] = Σ_{k>0}  λ̂_k²  ×  PsiPsi(k) / 2^r
+```
+
+Cette convention est explicitée dans les fonctions fournies.
+
+---
+
+## 4. Méthode de régression — principe mathématique
+
+### Développement en chaos polynomial
+
+On approche la quantité d'intérêt par :
+
+```
+λ(ξ) ≈ Σ_{k=0}^{A-1}  λ̂_k  Ψ_k(ξ)
+```
+
+où `Ψ_k(ξ) = Π_{j=1}^r L_{α_{k,j}}(ξ_j)` sont les polynômes de chaos
+et `α_k ∈ ℕ^r` les multi-indices avec `|α_k| ≤ p`.
+
+### Matrice de collocation
+
+On construit la matrice `Φ ∈ ℝ^{Q×A}` :
+
+```
+Φ(q, k) = Ψ_k(ξ^(q))
+```
+
+### Résolution par moindres carrés (régression)
+
+```
+λ̂ = argmin ||Φ λ̂ - f||²  →  λ̂ = Φ \ f
+```
+
+où `f` est le vecteur des évaluations du modèle aux points de collocation.
+Pour `Q > A` (cas usuel avec grille produit tensoriel), le système est sur-déterminé.
+
+### Statistiques du développement
+
+```
+E[λ]   = λ̂_0                                    (coefficient de Ψ_0 = 1)
+Var[λ] = Σ_{k=1}^{A-1}  λ̂_k²  ×  PsiPsi(k) / 2^r
+```
+
+---
+
+## 5. Méthode NISP — principe mathématique
+
+La projection spectrale non-intrusive calcule directement les coefficients par quadrature :
+
+```
+λ̂_k^NISP = <λ, Ψ_k> / <Ψ_k, Ψ_k>
+           = (Σ_q  W_q  λ(ξ^(q))  Ψ_k(ξ^(q)))  /  PsiPsi(k)
+```
+
+où `W_q = Π_j w_{i_j}` sont les poids de quadrature de Gauss–Legendre en produit tensoriel.
+
+Les poids 1D sont calculés par :
+
+```
+w_j = 2 / ((1 − ξ_j²)  [L'_{p+1}(ξ_j)]²)
+```
+
+**Avantage de NISP** : si le modèle est exactement représentable dans la base polynomiale,
+l'intégration est exacte (la quadrature de Gauss est exacte pour les polynômes jusqu'au
+degré `2p+1`).
+
+**Avantage de la régression** : plus robuste au sur-échantillonnage et au bruit, meilleure
+conditionnement numérique lorsque `Q >> A`.
+
+---
+
+## 6. Fichiers fournis
+
+| Fichier                   | Description                                    |
+|---------------------------|------------------------------------------------|
+| `cpg.m`                   | Fonction principale corrigée                   |
+| `cpg_modes_regression.m`  | Modes stochastiques par régression (nouveau)   |
+| `cpg_gauss_weights.m`     | Poids de Gauss–Legendre (nouveau)              |
+| `cpg_modes_nisp.m`        | Modes stochastiques par NISP (nouveau)         |
+| `method_XiToX.m`          | Transformation ξ → X corrigée                 |
+
+---
+
+*Revue réalisée le 12 mai 2026*