2026-06-05 13:11:08 +02:00

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Revue de code — Implémentation CPG (Chaos Polynomial Généralisé)

Résumé

Le code implémente correctement les grandes étapes d'une méthode de chaos polynomial non-intrusive : génération des polynômes de Legendre, construction de la grille de Gauss–Legendre par produit tensoriel, génération de la base de chaos multi-dimensionnelle, et transformation des variables incertaines. Plusieurs problèmes bloquants et améliorations sont identifiés ci-dessous.

1. Bugs bloquants

1.1 `cpg_modes.m` — syntaxe incomplète

% Code actuel (cassé)
for i = 1:          % <- borne supérieure manquante → erreur de syntaxe
end

La fonction est vide et génère une erreur de parsing. C'est l'objet principal des fichiers fournis (cpg_modes_regression.m et cpg_modes_nisp.m).

1.2 `cpg.m` — appel à `method_lambda` commenté, section modes vide

%[lambda_cpg] = method_lambda(X_cpg);   % <- commenté, rien n'est calculé
%% Stochastic modes
                                          % <- section vide

La fonction ne fait rien d'utile au-delà de la construction de la grille. Le fichier cpg.m corrigé est fourni.

1.3 Répertoire `save/` non garanti

save(filename) échoue si le dossier save/ n'existe pas. Corriger avec :

if ~exist('save', 'dir'), mkdir('save'); end
save(filename)

2. Problèmes de cohérence

2.1 `method_XiToX.m` — signe inversé

% Code actuel
X(i,:) = (P(3,i) + P(2,i))/2 - xi(i,:)*(P(3,i)-P(2,i))/2;
%                              ^--- signe moins

La convention standard est :

X = (Xmin + Xmax)/2 + ξ * (Xmax - Xmin)/2

avec ξ = +1 → X = Xmax et ξ = −1 → X = Xmin.

Le code actuel inverse cette orientation : ξ = +1 → Xmin, ξ = −1 → Xmax. Pour une distribution uniforme symétrique, les statistiques (moyenne, variance) sont inchangées, mais les graphiques et les comparaisons point-à-point avec la Monte Carlo seront logiquement inversés. Corriger le signe.

2.2 `parameters.m` — `X_base` surdimensionné

r = 2;
X_base = [ 0.5  1e8  1e8  0.001 ];   % 4 éléments, mais r=2

Seuls les deux premiers éléments de X_base sont utilisés (la boucle s'arrête à i=r=2). Les valeurs 1e8 et 0.001 sont silencieusement ignorées. Aligner X_base sur r, ou vérifier que length(X_base) >= r avec une assertion.

2.3 `cpg_polyChaos.m` — initialisation 1D

alpha = [0:p]';        % vecteur colonne [p+1 × 1] pour r=1

Pour r=1, la boucle for d = 2:r ne s'exécute pas, et alpha reste un vecteur colonne. L'indexation alpha(n,:) donne correctement un scalaire, donc le comportement est juste, mais le cas r=1 n'est pas testé explicitement et la forme de alpha diffère de r>=2 (colonne vs matrice). Ajouter un test unitaire pour r=1.

3. Points de vigilance

3.1 Explosion combinatoire de la grille de Gauss

La grille de collocation est un produit tensoriel : Q = (p+1)^r points. Le nombre de modes est A = C(p+r, r) (nettement inférieur).

r	p	Q = (p+1)^r	A = C(p+r,r)	Ratio Q/A
2	4	25	15	1.7
3	4	125	35	3.6
4	4	625	70	8.9
5	4	3125	126	24.8

Pour r >= 5, le coût explose. Pour la régression, ce sur-échantillonnage est bénéfique (système sur-déterminé). Pour NISP, le produit tensoriel reste exact mais coûteux. Les grilles creuses (Smolyak) constituent l'alternative pour les grandes dimensions.

3.2 Sorties multiples du modèle

model_main retourne [calc_rms; calc_std; calc_kurtosis], soit un vecteur [3 × 1]. method_lambda accumule correctement ces sorties : lambda_out est [3 × Q]. Les fonctions cpg_modes_regression et cpg_modes_nisp gèrent ce cas multi-sorties.

3.3 Polynômes de Legendre — convention de normalisation

cpg_polyLegendre calcule la norme sans le facteur 1/2 de la mesure uniforme :

PP(j) = 2 / (2*(j-1)+1)    % = ∫_{-1}^{1} L_{j-1}²(ξ) dξ

La variance du développement en chaos doit donc inclure le facteur 1/2^r :

Var[λ] = Σ_{k>0}  λ̂_k²  ×  PsiPsi(k) / 2^r

Cette convention est explicitée dans les fonctions fournies.

4. Méthode de régression — principe mathématique

Développement en chaos polynomial

On approche la quantité d'intérêt par :

λ(ξ) ≈ Σ_{k=0}^{A-1}  λ̂_k  Ψ_k(ξ)

où Ψ_k(ξ) = Π_{j=1}^r L_{α_{k,j}}(ξ_j) sont les polynômes de chaos et α_k ∈ ℕ^r les multi-indices avec |α_k| ≤ p.

Matrice de collocation

On construit la matrice Φ ∈ ℝ^{Q×A} :

Φ(q, k) = Ψ_k(ξ^(q))

Résolution par moindres carrés (régression)

λ̂ = argmin ||Φ λ̂ - f||²  →  λ̂ = Φ \ f

où f est le vecteur des évaluations du modèle aux points de collocation. Pour Q > A (cas usuel avec grille produit tensoriel), le système est sur-déterminé.

Statistiques du développement

E[λ]   = λ̂_0                                    (coefficient de Ψ_0 = 1)
Var[λ] = Σ_{k=1}^{A-1}  λ̂_k²  ×  PsiPsi(k) / 2^r

5. Méthode NISP — principe mathématique

La projection spectrale non-intrusive calcule directement les coefficients par quadrature :

λ̂_k^NISP = <λ, Ψ_k> / <Ψ_k, Ψ_k>
           = (Σ_q  W_q  λ(ξ^(q))  Ψ_k(ξ^(q)))  /  PsiPsi(k)

où W_q = Π_j w_{i_j} sont les poids de quadrature de Gauss–Legendre en produit tensoriel.

Les poids 1D sont calculés par :

w_j = 2 / ((1 − ξ_j²)  [L'_{p+1}(ξ_j)]²)

Avantage de NISP : si le modèle est exactement représentable dans la base polynomiale, l'intégration est exacte (la quadrature de Gauss est exacte pour les polynômes jusqu'au degré 2p+1).

Avantage de la régression : plus robuste au sur-échantillonnage et au bruit, meilleure conditionnement numérique lorsque Q >> A.

6. Fichiers fournis

Fichier	Description
`cpg.m`	Fonction principale corrigée
`cpg_modes_regression.m`	Modes stochastiques par régression (nouveau)
`cpg_gauss_weights.m`	Poids de Gauss–Legendre (nouveau)
`cpg_modes_nisp.m`	Modes stochastiques par NISP (nouveau)
`method_XiToX.m`	Transformation ξ → X corrigée

Revue réalisée le 12 mai 2026

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